不偏じゃないほうの標本分散も一致推定量だった

前回、母分散の不偏推定量が不偏分散　 $\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$ 　であることをようやく理解したわけですが、推定量の望ましい性質は、不偏性のほかに一致性というのもあります。

一致性というのは、推定量が大数の法則に従っている場合に指す言葉で、

サンプルサイズが大きくなれば、推定値は母集団が持つ真の値に近づくよね。

という、感覚的にも至極とうぜんのことを言っていたりするわけですが、統計学的には $n$ →∞で証明されているわけで、無限大の前には不偏分散の分母にあるマイナス１なんて、文字どおり物の数じゃなかったりします。（このことは前々回、オオカミ先生も言ってましたね。）

というわけで今回は、不偏じゃないほうの標本分散も一致推定量であることをシミュレーションで確かめてみたいと思います。

シミュレーションにあたり、

で作った無作為抽出のマクロに改良を加えました。


Sub Random_Sampling()

    Dim h As Integer, i  As Integer, j As Integer, k As Integer
    Dim RNK As Integer
    
    Application.ScreenUpdating = False
    
    Randomize   '乱数ジェネレータを初期化
    
    For h = 1 To 10000   '1000行分繰り返す
    
        For i = 1 To 10000
            Cells(i, 2).Value = Rnd   '1000行分の乱数を作る
        Next
        
        k = 100   'サンプルサイズを指定
    
        With Application.WorksheetFunction
            '標本を無作為抽出する
            For j = 3 To k + 2
                RNK = .Rank_Eq(Cells(j, 2), Range("B1:B10000"))
                Cells(h, j).Value = .Index(Range("A1:A10000"), RNK)
            Next
            '標本平均を計算する
            Cells(h, k + 3).Value = .Average(Range(Cells(h, 3), Cells(h, k + 2)))
            '標本分散を計算する
            Cells(h, k + 4).Value = .Var_P(Range(Cells(h, 3), Cells(h, k + 2)))
            '不偏分散を計算する
            Cells(h, k + 5).Value = .Var_S(Range(Cells(h, 3), Cells(h, k + 2)))
        End With
        
        Application.StatusBar = h & "/10000"
        DoEvents
        
    Next
    
    '乱数を消去
    Range("B1:B10000").ClearContents
    
    Application.ScreenUpdating = True
    Application.StatusBar = False
    
    MsgBox "終了"

End Sub

サンプルサイズを変数kでコントロールできるようにしたのがミソですかね。

あとは、分散の計算結果を出力とか、「応答なし」の回避とか。

精度を高めようと思い、標本の抽出回数を一万回にしました*1。× $\frac{1}{10000}$ なら、期待値に準じる値として不足はないんじゃないでしょうか。