標本平均の分布が正規分布になることをシミュレーションで確かめてみた１

標本平均というのは、母集団から抽出した標本の平均値のことです。
言わずもがなですね。

$E(\bar{X})=\mu$

ですから、標本平均は母集団の平均値であることが期待されるわけですが、残念ながらピッタリ一致することは滅多にありません。

$V(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$

母分散をサンプルサイズ $n$ で割った分だけバラついてしまうことになっています。
上の式から、標本平均の分散は、

サンプルサイズ $n$ が小さいほど、大きくなる
サンプルサイズ $n$ が大きいほど、小さくなる

ということがわかります。

驚きなのは、 $n$ が十分に大きければ、母集団がどのような分布であっても標本平均の確率分布は（近似的に）正規分布に従うことです。

このことを実感してみたくて、Excelでシミュレートしてみました。

まず、母集団を作ります。
A列に1～100までの正数を入力して、C1セルに =RAND() と入力します。

1～100の離散型確率変数
C1セルの数式をC2～C100セルまでコピーして、B1セルに =C1/SUM($C$1:$C$100) と入力します。

乱数（確率の元）を100個用意
B1セルの数式をB2～B100セルまでコピーします。
これで、B列にA列の確率変数の生起確率がセットされました。
【データ】→【データ分析】→【乱数発生】→【OK】をクリックします。
下図のように入力して、【OK】をクリックします。
E列に、N=1000の母集団が作られました。

N=1000の母集団
ここで、以前作った＜ヒストグラム出力マクロ＞を作成中のブックの標準モジュールにコピペします。
【開発】→【マクロ】をクリック。
「HISTGRAM」を選択して、【実行】をクリック。
母集団のヒストグラムが生成されました。
なんらかの確率分布に従っているようには見えませんね。

母集団の分布
ここで、以下のＶＢＡコードを標準モジュールに入力します。

無作為抽出のアルゴリズムは、以下のサイトを参考にさせていただきました。
【開発】→【マクロ】→「Random_Sampling」を選択して、【実行】をクリック。
G～P列にn=10の標本が1000個、Q列に標本平均が入力されました。

n=10のサンプル（標本数1000）
Q1～Q1000を選択→ 「HISTGRAM」を選択して、【実行】をクリック。
n=10の標本の分布が生成されました。

n=10の標本分布

標本平均の平均は母平均とほぼ一致、標本平均の分散もほぼ $\frac{母分散}{10}$ になっています。